6という数は、2×3=6だね。
これは面白いよね。
かけ算で、6という数を、2と3で表せたんだ。
足し算だけでは、
6=2+2+2
とか、
6=3+3
とかで、
2+3=5
だし、
2+2+3=7
なので、6を2と3で表せないよね。
これはなんでか、何か理論があるかな。
まあ、足し算の次に、かけ算を習うけど、
この二つは、とっても違うんだね。
かけ算だけの世界というのがあったとして、
1とか2とか、100とか1000とか、
いろんな数を別の方法で表そうとすると、
うまくいかないものがあるんだ。
さっきの6は、2と3が出てきたけど、
2は、かけ算なら、1×2としか表せないよね。
3も、1×3だよね。
もちろん、1は1を何個かけても1で、
2=1×1×1×…×1×2
とやっても、それはそれでいいけど、
特にそれがうれしいわけじゃない。
1をかけることは、特に何もかけてないとも、
いえるからね。
だから、2とか3とかの、
1×○とだけしか表せない数は、
6のような数とは違って、自然数の範囲だと、
それ以上分解できないかけ算の素だから、
そういうのを素数(ソスウ)というね。
数が素数でなければ、別の素数どうしの
かけ算で表せるから、
素数でない数は、別の素数で割り切れるって
ことだよね。
割り切れるってのは、
余りなく、割り算ができちゃうことだね。
6は、2とか、3で、余りなく割り切れる、
というわけだね。
でね、
かけ算の素なのだから、素数の個数は、
そんなに大きくなくても、いいような気も
まあするけど、でも、素数は無限個あるんだ。
それは、昔から証明されてて、
数学が本格的になってからも、
大事にされてる性質なんだよ。
証明ってのは、数学の論理で
本当にそれが正しいことか解明することだね。
昔の証明は簡単で、
仮に素数に最大のものがあったとするね。
それより小さい素数はあるけど、
それより大きいものはないと仮に、思うんだ。
そして、その限られた素数たちを一つずつ、
全部かけてみよう。
そうやってできた数は、必ずどれかの素数で
割り切れるよね。
だから、素数じゃない。
例えば、最大の素数が7だとして、
それまでの素数は、2,3,5だから、
2×3×5×7
をつくってみると、それは、
当たり前だけど、
2,3,5,7のどれかで割り切れるね。
そこで、それに1を足してみよう。
2×3×5×7+1
のようなものをつくるってこと。
それは、それまでの素数で割ると、
必ず1余ることになるね。
もし、それが素数だったらいいんだけど、
可能性としては、素数でなくて、
何かで割り切れることもあり得ると考えるんだ。
すると、その割り切った数ってのは、
仮に仮定していた最大の素数までにはない、
新しい素数だよね。
だから、新しい素数は、最大を超えちゃう。
ってことは、素数に最大のものがないって、
ことになるね！
つまり、どんなものより大きい素数があるので、
素数の個数は無限個なのでした。
いまの例では、
2×3×5×7+1=210+1=211
だけど、これは、素数なんだ。
だから、7までしか素数がないのと違って、
7を超える211という素数がありますよ、
ということだね。
じゃあ、11までと仮定したら、
2×3×5×7×11+1=2310+1=2311
これも新しい素数。
では、13までと仮定したなら、
2×3×5×7×11×13+1=30030+1=30031
これも新しい素数かな？と思うけど、実は、
30031=59×509
なので、素数じゃあない。
でも、13までしか素数がないと仮に思ったけど、
そうじゃなくて、59とか509とかいう、
13を超える素数が出てきたってわけだよね。
こういうふうな証明が、
大昔に発見されていたということなのだけど、
すごいことだよね。
かけ算を使うなら、素数はとっても大事。
でもね、足し算だけの世界なら、
1を足していけば、
どんな数も作れちゃうんだけどね！
この二つの世界をつなげる話は、
数学の世界でも、最先端の研究なんだよ。