6×6=36
ですが、
6+6=12
と、
1×1=1
を足すと
36+12+1 = 49
これは、
7×7=49
となってます。
では、
7+7=14
と、
1×1=1
をさらに足すと、
49+14+1=64
となりますが、
8×8=64
ですね。
さらに続けても、同じようになっていきます。
これは、中学校で習う「式の展開」から
すぐにわかります。
(x+1)×(x+1)
=
x^2+2x+1
なのですね。
順番を逆にしてもよくて、
x^2+2x+1
=
(x+1)×(x+1)
となりますね。こう見ると、いわゆる
「因数分解」です。
上の数字の計算は、これで説明がつきますね。
まず、x=6を取ってくる。
それを2倍する。2x=2×6 = 12
そして、1×1=1を用意して、足すと
x^2+2x+1=6×6+2×6+1
というのが、
(x+1)×(x+1)=(6+1)×(6+1)=7×7
と同じ、というわけですね。
この前の記事と、実は根っこは同じです。
で、さて、
2x+1
の部分が、
何かの二乗になっている場合を考えてみると、
例えば、
x=4のとき、
2x+1=2×4+1 = 9=3×3
で、さっきの展開式は、
4^2+3^2 = 25
となります。
もちろん、25=5×5
です。
別の例では、2x+1=25
なら、
x=12
なので、
12^2+5^2=13^2
となるのは、もう大丈夫ですね。
こういう
○^2+△^2=□^2
を満たす自然数の組みは、非常にきれいなので、
名前がついていて、ピュタゴラス数といいます。
そして、この関係にある実数
○,△,□
を辺とする三角形は直角三角形ですし、
直角三角形なら、この関係が成り立ちます。
これがいわゆる三平方の定理ですね。
ピュタゴラスの定理ともいいますね。
これを拡張するお話は、いずれしましょう。
数学にはたくさんの分野がありますが、
この定理はとても強力で、どこにでも現れます。
そういうお話もそのうちしましょう。
時間や空間の相対性理論では、
これの一般化がされて、ますます宇宙が
よくわかってきます。
現在の位置情報を正確にとらえるGPSだって、
相対性理論が使われています。
そんな発見のはじまりは、この定理なのです。
かけて足す、という非常にシンプルな定理。
それだけに深遠な内容を持っているのですね。